为什么三角形内角之和总等于180度

平面几何告诉我们，“三角形的内角之和等于180度”。因为这是一条已经证明了的定理，所以对于“三角形内角之和会不会不等于180度”这样一个“怪”问题，很少会有人去设想了。

其实，它真的是个问题。早在100多年前，或是更早的时候，已有人开始设想，不但设想研究了这个问题，并且还得出证明了如下两个完全相反的结论：

“三角形内角之和大于180度”

“三角形内角之和小于180度”这不在开玩笑吗!怎么可以让三个彼此矛盾的命题同时为真呢?又怎么可以都被证明为真呢?但这毕竟是事实。下面说说这到底是怎么一回事。

我们都知道，数学中的证明一般是用演绎推理来进行的，就是用已知的或者说已经被证明了的定理作前提来推断所要证明的命题的正确性。既然前一个数学命题的证明都必须要用已被证明的命题作前提，那么，数学的证明过程会是一种无限往回追溯的，并且不可能完成的事了，除非人们允许追溯到某一步能够停止。这样，也就只能选用一些公认成立而不再要求证明的命题(它们被称之为公理或公设)，从这些公理或公设出发，通过纯逻辑的推理(即演绎推理)来推导出所有其它的定理。

例如，选用推出中学平面几何中的定理、公理以及公设分别有5条，它们是：

公理1：与同一量相等的两个量相等；公理2：等量加等量，其和相等；公理3：等量减等量，其差相等；公理4：彼此重合的图形全等；公理5：全部大于它的部分。

公设1：从任意一点到另一点可以引直线；公设2：直线可以无限地延长；公设3：以任意一点为圆心，可以用任意长度的线段作半径画圆；公设4：所有的直角都相等；公设5：如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧相交。

公理和公设的选取要求必须满足一定的条件。比如，它们相互之间不能矛盾，但是由它们导出的定理也不可以有相互矛盾之处；它们虽然很简单，但是却又可以由它们导出这个命题系统中的全部的定理；它们彼此间又是互相独立的，你推导不出他，他也推导不出你。当然，公理与公设的语句必须简洁明了，使人愿意承认它。

用这样的标准去对照上面所列出的公理及公设，能够发现，除了公设5以外，它们所反映的全部只是有限范围内的情况，所以能用实验来加以验证，从而使人承认它的真实性。但是，公设5却不是这样。因为对它的真实性的确认涉及到无限大的范围，这是不能用实验来验证的，所以从公元4世纪起，这条公设就被多次怀疑了。数学家认为它缺乏作为几何学公设应该具有使人相信其真实的品性。于是，数学家开始用其它几条公理及公设去证明它。如果成功了，那就可以说明它没有资格作为公理。假如不成功，那人们对它作为公理也就放心些了。

但是，经过1000多年不懈的努力，数学家们尽管没有成功地证明出第5公设，但也发现了大量有趣的事实。事实之一是，第5公设与“三角形内角之和等于180”这个命题是等价的。所谓命题等价就是指它们之间能相互推导。事实之二是，假如第5公设被否定，那也就是说用一个与第5公设对立的命题，如，“三角形内角之和小于180度”或“三角形内角之和大于180度”来代替它，那由另外5条公理和4条公设，然后加上这条第5公设的对立命题推导出的全部命题，都被证明是完全正确的，即它们之间都没有任何逻辑矛盾。这就说明，人们完全能把与第5公设无关的，以及与第5公设对立的命题，组建成另外一种几何学。这种几何学中的命题尽管与我们的实验不一样，但它们却都是经过证明的“真理”。

经过这样一番说明，我们就可以了解：“三角形内角之和等于180度”与“三角形内角之和大于180度”或“三角形内角之和小于180度”的真理性是等同的，由于它们都能在某种几何学中得到证明。问题是“三角形内角之和等于180度”与我们的实验相吻合，因此容易被人们所接受，但是其它两条定理与我们的实验不相吻合，相当陌生。要知道，真理并不是以实验来确认的。确认真理需要的是理性更是逻辑法则。

数学上把确认三角形内角之和等于180度的几何称为“欧几里得几何”，简称为“欧氏几何”，而把确认三角内角之和不等于(包括大于或小于)180度的几何称为“非欧几何”。在19世纪，非欧几何又由俄国的罗巴切夫斯基及德国的黎曼创立，前者创立的称为罗氏几何，后者创立的则称为黎曼几何。20世纪初，非欧几何就开始应用于力学及物理学。尤其是1915年爱因斯坦又把非欧几何应用到了他的相对论上，这不但进一步加深了人们对非欧几何的认识，而且促使了它继续发展。