为什么球面不能展成平面图形

现在学过数学的人们都知道这样一个原理：圆柱、圆锥、圆台的侧面面积，我们可以利用各图形在平面内的展开图面来求出面积。但是球面是不能展成一个平面图形，因此球的表面积公式也就没办法用这个方法求出。但是为什么球面不能展成一个平面图形呢?

我们可以把圆柱、圆锥、圆台的一个侧面看成由一条直线(或线段)运动生成的图形，于是只有球面是惟一不能通过直线运动生成的图形。再说圆柱、圆锥、圆台的各个侧面都存在直线，但是在球面上没有一条直线是存在的。因此球面不能展成一个平面图形，人们把能够伸展为一个平面图形的曲面称为直纹面，圆柱、圆锥、圆台的侧面都属于直纹面。

如果在平面上任意剪下一块，如矩形或扇形，我们就可以既不叠皱，也不用撕破它贴附在圆柱或圆锥的某个侧面上。但是在平面上无论你剪下哪一种形状的一块，也都没办法既不叠皱也不撕破地贴在某个球面上。

事实上我们知道如果剪下的矩形、扇形或某一形状上，经过任意一点，可以沿任意方向相交于这个点的直线段a、b、c…然后将这些分别画有线段a、b、c…或其它的矩形、扇形粘贴在这些圆柱、圆锥的侧面上，a、b、c…的长度各个都不改变。如果将画有线段a、b、c…的某形状往球面上粘贴，或者贴不上，或者贴上，那样某些方向上的线段c或d…的长度就可以改变了。因为有使某些图形某些线段重合的一部分，或者拉长，或者撕断我们才能够贴在球的表面上。

两个曲面(平面是曲面的特殊情况)可以相互贴合的充分必要的条件就是两个曲面距离相等。所谓等距是指我们在两曲面间建立了互相对应关系，而且对应曲线的长度等长。因此平面与球面是不能建立等距关系的，球面也就不能展成平面图形。