为什么“和尚吃馒头问题”有别的解法

我国历史上著名的珠算大师、明朝数学家程大位曾写了一本影响十分大的书《算法统宗》。这本书后来一直被流传到日本、朝鲜、以及东南亚一带。在书中能看到他精心编写的大量歌谣体古算题，“和尚吃馒头问题”便是其中之一。这道题原文是：一百馒头一百僧，大僧三个便无争，小僧三人分一个，大小和尚各几个?

这是极其浅显易懂的七言诗，能像“唱山歌”一样地背诵。假如译成白话文，它的意思就是：现有100个和尚分100只馒头，刚好分完。假如大和尚1人分得3只，小和尚3人分得1只，问：大和尚、小和尚各有多少人?本题用代数中的列方程法解，当然十分容易求得答案。但，我们也可以广开思路，想想其它的办法。

假如各人吃的馒头数都照题目所说的那样，一律乘以3，也就是说，大和尚1人吃9只，小和尚1人吃1只，那100个和尚就要吃300只馒头。这时十分容易看出，小和尚每人所吃的馒头数刚好等于人数，而大和尚每人所吃的馒头数比人数多8。如今，他们一共吃的馒头要比人数多出200，而200是8的25倍，因此马上能推算出，大和尚有25人，小和尚有75人。这种解法就叫做“扩大法”。“扩大法”有各种变化方式，上文所说的就是把馒头数扩大为3倍的办法。此外，也能采用馒头数不动，把人数扩大为3倍的解法，请你也试试看。

把着眼点变化一下，也可以用“缩小法”来处理。例如说，1个大和尚只吃1只半馒头，而3个小和尚合吃半只馒头，可不可以解出来呢?也能试试。

很明显，“缩小法”的基本思路是：和尚的人数虽不能是分数，但馒头却能剖开来吃。从这一点来看，这思路是相当合理的。

话虽这样，但是程大位本人的解法却又不一样。《算法统宗》里的算法是：100÷(3＋1)＝25

100－25＝75

因为，程大位的思路是一种“编组法”。因为大和尚1人吃3只馒头，而小和尚3人吃了1只馒头，合并计算时，就是大小和尚4人吃4只馒头。于是，100个和尚刚好编成25组，而每一组中刚好有1个大和尚，因此马上能算出大和尚有25人。大和尚人数一经求出，小和尚人数自然不在话下了。

按照这种不寻常的“编组法”，还能把题目进一步修改如下：

100个和尚吃100只馒头，如果1个大和尚吃n只馒头，n个小和尚合吃1只馒头。问：大、小和尚各有多少人?

读者应用上面所提到的“编组法”，再注意到n＋1必须是100的因子，因此一定能找出n的答案是3，4，9，19，24，49，99。一共有7种可能答案，这不是挺有趣吗?